Chapitre 5

📏 Régression linéaire

La régression linéaire permet de modéliser la relation entre deux variables quantitatives par une droite d’équation y = ax + b. Elle permet d’estimer une valeur et d’analyser l’intensité du lien.

📖 Définition

La droite de régression ajuste au mieux le nuage de points. Elle minimise l’erreur entre les valeurs observées et estimées.

y = ax + b

a = pente → variation moyenne de Y lorsque X augmente d’une unité.
b = ordonnée à l’origine → valeur estimée de Y lorsque X = 0.

🧮 Méthode de détermination de la droite à partir des données

Lorsque l’on dispose d’une série de points (xi ; yi), on peut déterminer les coefficients de la droite de régression en utilisant les formules suivantes :

a = ( nΣxy − ΣxΣy ) / ( nΣx² − (Σx)² )

b = ( Σy − aΣx ) / n

où :
• n = nombre de couples de données
• Σx = somme des xi
• Σy = somme des yi
• Σxy = somme des produits xi × yi
• Σx² = somme des xi²

📋 Méthode pas à pas (niveau BTS)

Étape 1 : Construire un tableau de calcul

| x | y | x² | xy |

Étape 2 : Calculer :

• Σx
• Σy
• Σx²
• Σxy

Étape 3 : Calculer la pente a avec la formule.

Étape 4 : Calculer l’ordonnée à l’origine b.

Étape 5 : Écrire l’équation finale :

y = ax + b

📊 Exemple de calcul complet

Données :

x	y
1	2
2	3
3	5
4	4

Calculs :

Σx = 10
Σy = 14
Σx² = 30
Σxy = 39
n = 4

a = (4×39 − 10×14) / (4×30 − 10²)

a = (156 − 140) / (120 − 100) = 16 / 20 = 0,8

b = (14 − 0,8×10) / 4 = 1,5

Droite estimée : y = 0,8x + 1,5

💻 Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine avec un tableur

En pratique (Excel ou LibreOffice Calc), il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules longues avec Σ. Le tableur calcule directement les coefficients.

a = PENTE(Y ; X)

b = ORDONNEE.ORIGINE(Y ; X)

Exemple :
Si les valeurs de X sont en A2:A6
et les valeurs de Y en B2:B6 :

=PENTE(B2:B6 ; A2:A6)

=ORDONNEE.ORIGINE(B2:B6 ; A2:A6)

⚠️ En version anglaise :
SLOPE() et INTERCEPT()

📊 Méthode graphique (encore plus simple)

1️⃣ Sélectionner les données X et Y
2️⃣ Insérer un nuage de points
3️⃣ Ajouter une droite de tendance linéaire
4️⃣ Cocher « Afficher l’équation sur le graphique »

Le tableur affiche directement :

y = ax + b

🧪 Application – Température et rendement

Température (°C)	Rendement (t/ha)
14	6,5
15	6,2
16	5,8
17	5,2
18	4,7

Résultat obtenu avec le tableur :

y ≈ -0,45x + 12,8

Interprétation :
Une augmentation de 1°C entraîne une baisse moyenne d’environ 0,45 t/ha.

Estimations :
• Pour 19°C → ≈ 4,25 t/ha
• Pour 20°C → ≈ 3,8 t/ha

📊 Tableur interactif

X	Y
10	5.8
20	6.9
30	8.1
40	9.2
50	10.4

⚠️ Limites du modèle

• Suppose une relation linéaire.
• Sensible aux valeurs aberrantes.
• L’extrapolation est risquée.
• Corrélation forte ≠ causalité.

Applications Exercices – Partie Régression

🟢 Niveau 1 – Lecture d’équation

y = -0,5x + 12

1. Quelle est la pente ?
2. La relation est-elle croissante ou décroissante ?
3. Que signifie la pente dans un contexte agricole ?

Correction :

1. La pente est -0,5.
2. La relation est décroissante (pente négative).
3. Lorsque la variable X augmente d’une unité (ex : +1°C), le rendement diminue en moyenne de 0,5 t/ha.

🟡 Niveau 2 – Construction sur tableur

Rendement et température

Température (°C)	Rendement (t/ha)
14	6,5
15	6,2
16	5,8
17	5,2
18	4,7

Travail demandé :
• Construire le nuage de points
• Ajouter la droite de tendance
• Afficher l’équation
• Interpréter la pente

Correction :

La pente est négative.
Équation approximative : y ≈ -0,45x + 12,8
Interprétation : une augmentation de 1°C entraîne une baisse moyenne d’environ 0,45 t/ha.

🟠 Niveau 3 – Estimation

y = -0,45x + 12,8

1. Estimer le rendement si la température est de 19°C.
2. Estimer pour 20°C.
3. Que montre cette évolution ?

Correction :

Pour 19°C :
y = -0,45 × 19 + 12,8 ≈ 4,25 t/ha

Pour 20°C :
y = -0,45 × 20 + 12,8 ≈ 3,8 t/ha

Conclusion : Le rendement diminue progressivement lorsque la température augmente. Cela suggère un effet de stress thermique.

🔴 Niveau 4 – Comparaison de modèles

Modèle A : y = 7x − 90
Modèle B : y = 2x − 15

1. Quel modèle traduit une relation plus forte ?
2. Lequel indique une sensibilité plus élevée ?
3. Justifier.

Correction :

1. Le modèle A présente la pente la plus élevée (7).
2. Le modèle A indique une sensibilité plus forte : une variation d’une unité de X entraîne une variation de 7 unités de Y.
3. Plus la valeur absolue de la pente est grande, plus la variable Y réagit fortement aux variations de X.

🎓 Exercice type CCF – Régression linéaire (Noté sur 20 points)

Contexte :

Un agriculteur souhaite analyser l’impact de la température moyenne du mois de juin sur le rendement de blé. On dispose des données suivantes :

Température (°C)	Rendement (t/ha)
14	6,5
15	6,2
16	5,8
17	5,2
18	4,7

📝 Travail demandé

1️⃣ Construire le nuage de points. (3 pts)

2️⃣ Déterminer l’équation de la droite de régression. (6 pts)
- Calcul de la pente a (3 pts)
- Calcul de l’ordonnée à l’origine b (3 pts)

3️⃣ Interpréter la pente dans le contexte agricole. (3 pts)

4️⃣ Estimer le rendement pour 19°C. (3 pts)

5️⃣ Discuter la pertinence du modèle et ses limites. (5 pts)

✅ Corrigé détaillé

1️⃣ Nuage :
Tendance décroissante → corrélation négative.

2️⃣ Calculs :

n = 5
Σx = 80
Σy = 28,4
Σx² = 1290
Σxy = 448,5

a = (5×448,5 − 80×28,4) / (5×1290 − 80²)

a ≈ -0,45

b = (Σy − aΣx) / n

b ≈ 12,8

Équation estimée :

y ≈ -0,45x + 12,8

3️⃣ Interprétation :
Une augmentation de 1°C entraîne une diminution moyenne d’environ 0,45 t/ha.

4️⃣ Estimation :

Pour 19°C :
y = -0,45×19 + 12,8 ≈ 4,25 t/ha

5️⃣ Limites :

• Modèle linéaire simplificateur.
• D’autres facteurs influencent le rendement (pluviométrie, sol…).
• Extrapolation au-delà de 18°C incertaine.

Conclusion attendue en CCF :
On observe une relation linéaire décroissante entre température et rendement. Toutefois, ce modèle reste une approximation.

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