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Géométrie vectorielle – Vecteurs, produits scalaire & vectoriel · Module 1 — Vecteurs, composantes – points, coordonnées

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Les vecteurs

Objectif : comprendre ce qu’est un vecteur, le manipuler (addition, soustraction, multiplication par un réel) et apprendre la règle de Chasles — la « colonne vertébrale » des calculs vectoriels.

1. Définition : direction, sens, longueur

Un vecteur non nul est caractérisé par trois informations : direction, sens et longueur (norme). Un vecteur nul a une longueur 0 (pas de direction/sens définis).

Notation
  • →a, →b, →u : vecteurs
  • →AB : vecteur de A vers B
  • →0 : vecteur nul, et →PP = →0
À retenir
  • Un vecteur peut être « déplacé » (translation) sans changer.
  • On parle de représentants d’un même vecteur.

2. Égalité de vecteurs : 3 critères pratiques

Deux vecteurs sont égaux si (au choix) : on obtient un parallélogramme, on a une translation commune, ou encore les diagonales ont le même milieu (critères classiques).

Mini-activité — Vrai ou faux ?
  1. Deux flèches de même direction et même longueur représentent forcément le même vecteur.
  2. Si deux flèches ont même direction, même sens, même longueur, alors elles représentent le même vecteur.
  3. Le vecteur nul se dessine avec une flèche.

Conseil : justifie toujours avec direction / sens / longueur.

3. Opérations sur les vecteurs

Addition (règle du triangle)

Choisis un point A. Place B tel que →AB = →a, puis C tel que →BC = →b. Alors →a + →b = →AC.

Opposé et soustraction
  • −→a est le vecteur de même direction et longueur, mais de sens opposé.
  • →a − →b = →a + (−→b)
Règle de Chasles (essentielle)

Pour tous points A, B, C : →AB + →BC = →AC

Astuce : « on enchaîne les flèches » — l’arrivée de la première est le départ de la seconde.

Multiplication par un réel
  • Direction : identique à →a
  • Sens : identique si k > 0, opposé si k < 0
  • Longueur : multipliée par |k|

Propriété clé : k(→a + →b) = k→a + k→b.

Exercice guidé — Simplifier avec Chasles

Exemple de travail attendu : transforme une somme de vecteurs en une forme plus simple en « chaînant » les points.

  • Remplace →XY par →XA + →AY si ça aide à faire apparaître des annulations.
  • Recherche des paires →UV et →VU (elles s’annulent).
Quiz flash (auto-correction)

Q1. Si →AB = →DC, quelle figure peut-on reconnaître ?

Q2. Complète : →AB + →BC = ...

Bases et composantes

Objectif : comprendre qu’avec deux vecteurs non colinéaires dans le plan, on peut écrire n’importe quel vecteur de façon unique comme combinaison linéaire.

1. Décomposer un vecteur dans le plan

Dans le plan, si →e1 et →e2 ne sont pas colinéaires, alors tout vecteur →a s’écrit de manière unique :

→a = a1→e1 + a2→e2

Intuition géométrique : on construit un parallélogramme pour « projeter » →a sur les directions de →e1 et →e2.

2. Base et composantes

Une base du plan est un couple ordonné B = (→e1 ; →e2) de deux vecteurs non colinéaires. Les nombres a1 et a2 s’appellent les composantes de →a dans la base B.

Notation colonne

On note souvent : →a = (a1, a2) (ou en colonne) pour rappeler que →a = a1→e1 + a2→e2.

Attention

Les composantes dépendent de la base choisie : changer de base ⇒ changer de composantes.

Entraînement — Calculs de composantes

Choisis une base B=(→e1;→e2). Si →a=(a1,a2) et →b=(b1,b2), alors :

  • →a + →b = (a1+b1, a2+b2)
  • k→a = (k·a1, k·a2)
  • →a = →b ⇔ a1=b1 et a2=b2

Repères et coordonnées

Objectif : passer de « flèches libres » à une représentation standard en fixant une origine et une base associée : c’est la porte d’entrée vers l’analytique.

1. Du vecteur libre aux coordonnées

Dans le plan, un vecteur peut être dessiné depuis n’importe quel point. Si on fixe une origine O et qu’on représente tout depuis O, on relie naturellement les vecteurs aux points :

  • à tout point A on associe →OA
  • à tout vecteur →a on associe un point A tel que →a = →OA

2. Définition d’un repère

Trois points O, E1, E2 non alignés forment un repère R = (O; E1; E2). La base associée est : B = (→OE1 ; →OE2).

Coordonnées d’un point

Dire que A(a1; a2) signifie que : →OA = (a1, a2) dans la base associée au repère.

a1 = abscisse, a2 = ordonnée.

Exercice — Vecteur entre deux points

Dans un repère, si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors :

→AB = (xB − xA, yB − yA)

C’est la formule pratique à connaître pour enchaîner les exercices.